ЧЕРНОВИК
ДИССЕРТАЦИИ
13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания
(информатизация образования, информатика)
диссертация на соискание ученой степени
кандидата педагогических наук
Пантуева Андрея Валерьевича
Методические проблемы построения элективного курса-практикума по математическому моделированию для профильных классов в среде Geometer's SketchPad.
Москва - 2004
Работа выполнена на кафедре информатики Московского Городского Педагогического университета.
Научный руководитель:
доктор педагогических наук, профессор А.С.Лесневский
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Н.Х.Розов (МГУ)
кандидат педагогических наук, доцент С.В.Бирюков (МПГУ)
[3.1] Открытые программно-методические системы.
[3.2] Виртуальные лаборатории и педагогические технологии.
[3.5] Апробация и внедрение результатов исследования.
[3.6] Основные выводы и результаты.
[3.7] Краткий обзор содержания работы.
[3.8] Новые результаты, относящиеся к методике преподавания информатики.
[5] Постановка методических задач исследования и принципы их решения.
[5.1] Об изменениях целей и задач раздела «Моделирование» курса информатики.
[5.2] О концепции визуальных предметно-ориентированных виртуальных конструкторов.
[5.2.1] О выборе базовой компьютерной среды для практикума.
[5.3] Виртуальные конструкторы и традиционные компьютерные средства в практикуме.
[5.4] Визуализация математических понятий как уникальный резерв электронных средств обучения.
[5.5] Динамические модели и элементы проектной работы в геометрических задачах.
[5.7] Обзор методических особенностей курса.
[5.7.1] Выбор материала для курса
[5.8] Методические нововведения курса.
[5.8.0.3] Новый класс заданий по моделированию - задания типа “черные ящики”.
[5.8.0.4] Динамические задания на нечисловую оптимизацию
[5.9] Области моделирования, выбранные для программы курса.
[5.10] Методические комментарии к программе курса.
[5.10.1] Ключевые понятия моделирования, рассматриваемые в курсе.
[5.10.2] Общий ход работы с новыми понятиями в трех разделах курса.
[5.11] Различие подходов математики и информатики к понятию результата.
[5.12] Модели для математики и модели для информатики.
[5.13] О совместной работе учителя математики и учителя информатики.
[5.14] Дифференциация заданий по сложности и индивидуальный подход.
[5.15] Особенности деления работы с моделью на этапы.
[5.16] Необходимость вводных занятий.
[5.17] Подбор тем вводных занятий.
[5.18] Педагогическая характеристика вводных тем.
[5.19] Математическая характеристика вводных тем.
[5.20] Организационные формы вводных занятий.
[6] К методике формирования навыков презентации и обучения оформлению отчета о работе с моделью.
[6.1] Проблема оформления - психологическая.
[6.1.1] Обычный методический способ решения проблемы оформления.
[6.1.2] Методика использования средств автоматического протоколирования.
[6.1.3] Методические приемы, облегчающие получение оформленного для презентации документа.
[6.1.4] Психологические аспекты решения проблемы.
[6.1.5] О соотношении задач понимания и взаимопонимания в курсе.
[8] Педагогический эксперимент и другие формы верификации результатов исследования.
Одним из условий повышения качества общего образования, согласно «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.» (Распоряжение Правительства Российской Федерации от 29.12.2001, №1756-р.), является информатизация и компьютеризация образования, освоение новейших средств информационных и телекоммуникационных технологий, их активное использование в учебном процессе. В ходе модернизации содержания общего образования предполагается изменить методы обучения, расширив вес тех из них, которые формируют практические навыки анализа информации, самообучения, а также повысить роль самостоятельной работы учащихся.
Кроме того, в этом документе обращается внимание на необходимость движения старшей школы к профильному обучению. Согласно концепции Министерства Образования , предстоит создать систему профильных курсов, адекватных различным направлениям специализации образования в старших классах. Особую роль играет здесь дифференциация содержания обучения информатике, поскольку информатика обеспечивает усвоение школьниками различных информационных технологий, соответствующих выбранным ими видам последующей профессиональной деятельности.
Бурное развитие информационных технологий потребовало выявления инвариантной составляющей курса информатики, не меняющейся с каждым новым процессором, выбрасываемым на рынок, и даже с каждой новой телекоммуникационной технологией. Одна из таких общепризнанных составляющих - это блок "Математическое моделирование", вошедший в стандарт курса информатики профильных классов средней школы. Этот блок делит судьбу остальных разделов курса информатики - с одной стороны, математическое моделирование является объектом знакомства и изучения, с другой - универсальным методом, который необходимо научиться применять.
Роль математического моделирования в обучении и, вообще, в процессе познания не нуждается в комментариях. Однако этот вид деятельности и, тем более, математический эксперимент практически отсутствовали в традиционной советской системе образования. Между тем, этот способ исследования всегда был присущ работе профессиональных математиков, а в наше время, благодаря компьютерам, приобрел особую важность для профильных классов, причем не только физико-математического профиля.
Разработка содержания и методики элективных курсов по этому блоку является насущной задачей по уточнению и дифференциации школьной программы по информатике. С чем связана актуальность этой задачи?
Связано это с общей тенденцией среднего образования: в области математического моделирования, как раздела школьного предмета, сегодня встает та же задача, что и во всем комплексе естественнонаучных предметов - снижение количества часов при углублении уровня понимания и владения предметом. Трудности в решении этой задачи заставили убрать в 2005 году раздел «Математическое моделирование» из стандарта обычных (непрофильных) классов. Но проблема осталась - она в том, что объективно математическое моделирование из раздела прикладной математики фактически выросло в отдельную дисциплину, важность которой в эпоху происходящей информационной революции невозможно переоценить, и школа, прежде всего профильная, должна это учитывать (см.А.А.Кузнецов А.Л.Семенов, А.А.Уваров Проект…2001).
В концепции информатизации образования намечены пути ее решения. Среди них - создание системы компьютерной поддержки основных школьных курсов. Такие системы должны, в частности: "...ориентироваться на современные формы обучения и допускать использование и в рамках традиционных форм, обеспечивать новое качество образования, высокую интерактивность, усиление учебной самостоятельности школьников; ...обеспечивать возможность индивидуализации, уровневой дифференциации обучения заданием уровня учителем и с возможностью выбора и смены его учащимся." ()
И здесь ключевая роль принадлежит организации учебного процесса. По словам известного австрийского математика и педагога Ганса Фройденталя, она должна быть не в том, чтобы делать возможным активное обучение, а скорее в том, чтобы делать невозможным пассивное.
Г.Фройденталь поясняет:"...обучение ...выйдет на рынок как товар массового потребления. Широкие области [естествознания] ... предназначены ныне для программированного обучения. Обучать всему этому в процессе личного общения - чрезмерная роскошь... Возникает вопрос - как программировать активное, творческое обучение?" [Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. -М.: Просвещение, ч. 1, 1982] стр.54).
Можно констатировать факт, что этот момент уже наступил. Во всяком случае, в качестве «трех китов» современного образования Чарльз Кларк (Государственный секретарь Великобритании по образованию и занятости) выдвигает новые технологии в образовательных стандартах, дистанционное образование и глобализацию образовательного взаимодействия [Кларк Ч. Новые педагогические методы, дистанционное обучение, глобализация - три кита современного образования, "Информатика и образование" N 3, 2004]. Отечественные формулировки «о необходимости перехода от консервативного образования к опережающему» говорят о том же.
Таким образом, перед нами, уже практически, а не теоретически, поставлен вопрос о разделении образования как педагогического и социального процесса становления личности и образования как "товара массового потребления". Традиции гуманистической педагогики (не только отечественной), так ярко выявленные Ш.А.Амонашвили и С.Л.Соловейчиком, пока противостоят этому разделению. Но современный кризис системы образования опасен именно этим - утерей традиций, размыванием строгости школьных писаных и неписаных законов, переносом рыночных (и псевдорыночных) отношений в школу. Процесс этот идет очень быстро.
Обречена ли единая школа, как многие уверены, или единство в рамках дифференциации и профильности сможет еще надолго сохраниться?
Именно эта проблема заставляет искать пути развития сети профильных классов и школ. И особенность современной ситуации в том, что основным рычагом управления становится избирательная поддержка инициатив "снизу", опора не на временную, а постоянную инновационную активность учебных заведений. Особенно важна она в самой динамической области среднего образования - информатике.
Здесь большую роль могут сыграть так называемые открытые программно-методические системы. Вооруженные такими системами учителя способны к качественно новой работе по освоению опыта преподавания, не только своего собственного, но и опыта многих других - и дидактического, и методического, и организационного.[Д. В. Зарецкий, З. А. Зарецкая, Ю. А. Первин , Педагогические и технологические основы создания открытых программно-методических систем, "Информатика и образование" N 1(1), 1998].
Такие системы благоприятствуют активизации профессионального общения педагогов, созданию сообществ "по интересам", точнее, по профилям. Коммуникативные технологии, проникая в школу, дают возможность таким контактам обрести немыслимый ранее динамизм. Это общение, в свою очередь, поддерживает процесс постоянного самосовершенствования специалиста образования и должно рассматриваться в тесной связи с концепцией непрерывного образования. Уже упомянутый Г. Фройденталь в качестве важного критерия подготовки учителя выдвигает следующее требование: учитель должен быть готов к обучению по программе, кардинально отличной от той, по которой учили его самого.
Примером такого неформального, но активного сообщества учителей и методистов может служить самоорганизующееся сетевое сообщество преподавателей информатики, использующих ЛОГО, и его поддержка государственными организациями, такими как МИПКРО (МИОО), ЦИТУО, и т.д.
Благоприятствуют такие системы и поддержке личностно-ориентированных, деятельностных, развивающих методик обучения, пока больше распространяющихся в начальной школе.
Важным видом открытых программно-методических систем мы считаем те учебно-методические комплексы (УМК), ядром которых является учебно-ориентированный виртуальный конструктор. На сегодня, по данным интернет-обзоров, это один из самых динамично развивающихся типов УМК (обычно с дистанционным компонентом) в мировом образовательном пространстве.
Признанием постоянно возрастающей роли виртуальных конструкторов в школе, в частности, в математике, служит факт высокой оценки этих программ (точнее, УМК) педагогическим сообществом.
По результатам анкетирования на ИТО-2005 лучшими программами по математике названы “Живая Математика (ИНТ)” и «1С Математика 5-11. Практикум». Оба УМК созданы на базе виртуального конструктора “Geometer's Sketchpad” фирмы Key Curriculum Press.
Хотя они проходили конкурс в номинации «программы по математике», оба УМК имеют самое непосредственное отношение к информатике, прежде всего к разделу «Математическое моделирование». Это не случайность - уже замечено, что ряд особенностей виртуальных конструкторов позволяет использовать их не только в соответствующих предметных областях, но и в информатике. Примером такого использования служит и разрабатываемый нами спецкурс, или элективный курс-практикум по математическому моделированию для профильных классов.
На пути разработки этого курса был поставлен и решен ряд учебно-педагогических задач, имеющих самостоятельный интерес для методики преподавания информатики. Настоящая работа и представляет эти решения.
Сегодня ясно обозначились два пути развития основного образования. С одной стороны, это сверхцентрализация, связанная с бюрократическими и глобалистскими тенденциями в образовании и обществе. Примерами могут быть и документы «Болонского процесса», безусловно признающие международную стандартизацию образования ценностью и необходимостью, и французская модель школьного математического образования, где точно известно, что в какой день школьный учитель говорит и что задает. Собственно говоря, это уже не учитель, а рабочий при педагогической технологии. И его квалификация состоит в том, насколько точно он может исполнить предписания технологии, «гарантирующей результат при выполнении перечисленных условий» (). Сфера его самостоятельности точно очерчена, любые «незапрограммированные» действия - это заведомые ошибки, «нарушения технологического режима». Таких специалистов нужно учить новым технологиям, повышать их квалификацию для более тщательного выполнения их задач. А разработка технологий - дело профессионалов-технологов. И есть другой путь - поддержка инновационных моделей развития образования, для которых не то что педагогические технологии, а даже основные принципы возникающей педагогики еще непрояснены и непроработаны!
Ясно, что развивать придется обе модели одновременно. Но в рамках одной школы они не всегда совместимы. Поэтому Московский Департамент образования уже много лет поддерживает так называемые «экспериментальные площадки» - школы с особым статусом, дающим право на педагогический эксперимент. Задачи учителей таких школ - не максимально точно применять готовую технологию, а участвовать в разработке новых образовательных форм, обычно в тесном сотрудничестве с ведущими учеными-педагогами. И прежде всего для этих учителей (хотя и не только для них) Департаментом образования Москвы ведется ряд курсов повышения квалификации, на которых организовано обучение работе с открытыми методическими системами.
Наш спецкурс предназначен не просто для профильных классов, которые вполне могут (и должны, вероятно) использовать хорошо отработанные педагогические технологии, но именно для поддержки и развития инновационной составляющей педагогической работы, для построения авторских курсов. Эта задача требует особых программных и методических средств, разработка которых и была выполнена в течении 1997- 2006 г.г.
«Новорожденный» авторский курс обычно плохо тиражируется. Работа по его внедрению обычно занимает много лет, и поэтому эти средства должны быть проверены не только на отдельно взятом спецкурсе и отдельно взятом учителе, но и внедрены в инновационное сообщество, формирующееся вокруг «Живой Геометрии» как открытой программно-методической системы. Такая работа была проведена автором на базе курсов повышения квалификации учителей. Была разработана и, после апробации, утверждена программа курса, использующего построенную методику. Специфика курса в том, что на него приглашались не отдельные учителя, а пары учителей - учитель информатики и учитель математики. Опыт показал оправданность этого подхода в силу очевидного межпредметного характера математического моделирования.
Приведем пример, раскрывающий характер проводимых курсов (МИПКРО-МИОО) по применению УМК «Живая Геометрия» и «Живая Математика» в школе. На эти курсы иногда попадают учителя, ожидающие обучения работе с завершенной педагогической технологией. В таких случаях всегда возникает конфликт, связанный с ошибочными ожиданиями. Такие учителя просят не объяснять им принципы работы и применения новых устройств, программ и учебных комплексов. Они ждут другого - и готовы получить точный рецепт включения устройства в точный момент урока. Причем урока, проходящего по заданной программе.
Таким образом, перспектива каждого принципиально нового компьютерного дидактического средства (а виртуальный конструктор Geometer's SketchPad и аналогичные среды ими, безусловно, являются) двояка. Они могут
Для Geometer's SketchPad хорошо известны оба типа применения.
Примером первой являются сообщества учителей, много лет группирующееся вокруг сайта «Key Curriculum Press», очных и дистанционных курсов, проводимых этой фирмой (http://www.keypress.com/pdc/institutes/).
Примером второго применения служат тщательно разработанные по стандартизованной технологии серии лабораторных работ по математике. Их разрабатывал международный российско-американский коллектив, и перевод части подготовленных материалов уже издан.(На русском языке - С.Г. Иванов, И.Е. Люблинская, В.И. Рыжик, Ron Armontrout, Laurie Boswell, Tim Corica, ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ СЮЖЕТЫ ДЛЯ СРЕДЫ THE GEOMETER'S SKETCHPAD, "Компьютерные инструменты в образовании" №3, 2003 г.),(Исходное пособие - Ron Armontrout, Laurie Boswell, Tim Corica, Irina Lyublinskaya, Valerie Ryzhik «22 Interactive Geometry Labs», Best Practices in Education Inc. NY, 2002)
Другим, более доступным примером локальной педагогической технологии может служить разработанный автором и включенный под названием «Пять уроков Живой Геометрии» в УМК «1С Математика 5-11» блок практического введения в «Живую Геометрию», (CD-диск «1С Математика 5-11», практикум). Такие материалы готовятся так, что выбор вариантов и стилей работы четко фиксируется, и в этих рамках подробно прорабатываются возможные ответы и реакции учащихся на очередные задания.
Если же выбор стиля и вариантов учебной работы предоставить учителю, то заранее практически невозможно предусмотреть возможные учебные ситуации, и построить систему автоматического контроля не удается. В этом случае ответственность и за выполнение стандарта как минимума, и за построение адекватной системы контроля ложится на учителя. Но учитель уже не всё должен делать «вручную», как раньше. Соответствующая открытая программно-методическая система обеспечивает и педагогические качества формы учебного материала, и насыщенность его содержанием при необходимой гибкости, и оптимальную форму документирования учебного процесса, и это уже немало, хотя многое всё же остается за учителем.
Именно для таких учителей, которые готовы взять на себя эту работу, и предназначены представленные методические разработки по элективному курсу, а также курсы повышения квалификации, которые автор ведет в МИОО (МИПКРО) с 1998 года.
Таким образом, основным противоречием, которое определяет главное направление диссертационной работы, является противоречие между настоятельной необходимостью интенсификации и углубления практической составляющей линии математического моделирования в профильных курсах информатики, и неразработанностью методических решений, обеспечивающих эти требования при приемлемом количестве часов.
Отмеченное противоречие было выявлено при теоретическом анализе разнообразных источников: работ, посвященных анализу существующего программного обеспечения учебного назначения, обсуждений проблем методики моделирования (как школьного предмета) на семинарах и конференциях; а также в результате анализа наиболее известных практикумов.
Основной гипотезой работы является утверждение, что выбор геометрического материала как бахзового для построения элективного курса-практикума по математическому моделированию в виртуальном конструкторе «Живая Математика» (Geometer's SketchPad) позволяет реализовать интенсивное обучение в стиле «деятельностного подхода» В.Н.Талызиной, подготавливающем учащихся к проектной работе.
Цель исследования - разработать содержание, методическое и математическое обеспечение элективного курса по информатике " практикум по математическому моделированию в виртуальном конструкторе", в системе дифференциации обучения в старших классах профильных физико-математических школ.
Объект исследования - процесс обучения информатике в старших классах
школ математической ориентации.
Предмет исследования - методика построения и применения системы компьютерных моделей для элективного курса по информатике «практикум по математическому моделированию» (в дальнейшем, если это не оговорено особо, просто «курса») .
Основная задача исследования -
Методологической основой исследования являлись
Методы исследования определялись его методологическими основами и
поставленными задачами:
Научная новизна и теоретическая значимость исследования определяются
- предложенной методикой использования системы компьютерной
поддержки на базе виртуального конструктора
- построением конкретной системы учебных моделей к практическому курсу
математического моделирования
- реализацией межпредметных связей информатики, физики и математики
на 3-х основных уровнях (задачном, концептаульном, проектном)
- обоснованием содержательной части курса анализом потребностей
профильных математических классов и школ
- обоснованным и органичным включением проектного подхода в
методику курса
Практическая значимость работы заключается в том, что
- предложенные принципы построения курса могут быть использованы при
разработке программ профильных курсов информатики.
- разработана программа, методика и набор моделей для курса математического
моделирования учащихся 10-11 классов школ с математической ориентацией
- разработана программа спецкурса, методическое пособие и набор
компьютерных моделей для системы педагогического образования.
Обоснованность и достоверность исследования определяются опорой на
1 этап 1996 - 1998 гг. Изучена зарубежная и отечественная психолого-педагогическая и научная литература по вопросам компьютерной поддержки курсов геометрии , по использованию компьютеров в школе и в вузе, теории учебной деятельности учащихся и студентов, сформулирована проблема и тема исследования, изучены принципы построения содержания практикумов. Адаптация и локализация выбранной динамической среды и готовых заданий (3 версия).
2 этап: 1998 - 2000 гг. Изучение потенциала новых компьютерных сред и обоснование необходимости их использования в практикуме. Обзор традиционных программ и методик преподавания практикума. Анализ основных проблем, связанных с эффективностью их применения в условиях конкретной профильной школы. . Постановка конкретных учебно-педагогических задач в в рамках выбранного подхода. Формирование методики преподавания, решающей поставленные задачи. Подбор имеющихся и выработка новых типов заданий, соответствующих новому типу среды. Разработка схемы педагогического эксперимента для практикума. Разработка курса с элементами практикума для МИПКРО и начало его преподавания.
3 этап: 2000 - 2001 гг. Разработано математическое содержание спецкурса . Подготовлена учебная программа спецкурса и объяснительная записка к ней. Созданы первые методические материалы к спецкурсу: тематическое планирование спецкурса, система методических заданий. Проведена апробация первого варианта программы и материалов. Адаптация и локализация выбранной динамической среды и готовых заданий (4 версия). Перевод курса в МИПКРО на новую версию виртуального конструктора.
4 этап: 2002-2006 гг.
Уточнение программы практикума и согласование её с программами по информатике и математике для конкретного учебного заведения. Подбор или разработка последовательности заданий и пояснительного материала для практикума совместно с преподавателями информатики и математики. Выработка форм контроля и сбора материалов для анализа результатов эксперимента. Проведены запланированные опросы по педагогическому эксперименту в СУНЦ и МИОО и проанализированы результаты. Оформлены итоги исследования.
Основные положения и результаты исследования обсуждались на:
научной конференции МГПУ <Проблемы активизации
учащихся> (г.Москва, 2002 г);
научной конференции МГПУ <Конференция молодых ученых
> (г.Москва, 2000 г);
научной конференции факультета математики
Московского педагогического государственного университета (г.
(г. Москва, 2002 )
научно-методическом семинаре МЭИ < Использование компьютерных
средств в преподавании математики> ( 2001 г.);
заседаниях кафедры ИПМ Московского Городского педагогического
университета (г. Москва, 2000 гг.);
заседаниях кафедры информатики СУНЦ Московского Гсударственного
Университета (г. Москва,
2002 гг.);
научно-методическом семинаре ФПО Московского Гсударственного
Университета (г. Москва, 2002, 2004 гг.);
заседаниях кафедры математической физики Московского Государственного педагогического университета (г. Москва, 1998-2006)
гг.);
конференциях ИТО (2002-2004)
По теме диссертации опубликовано 6 работ.
Апробирован спецкурс «Практикум по математическому моделированию» в СУНЦ МГУ (10-11 кл) (2000-2006 г.г.)
апробирован спецкурс для педвузов "Учебное моделирование в виртуальном конструкторе Geometer's SketchPad" в МГПУ (2000-2002 г.г.)
Разработана и внедрена программа 12-часовых, 24-часовых и 72-часового курса «Компьютерные средства в преподавании математики («Живая Геометрия») для курсов повышения квалификации учителей, апробирована и внедрена в МИПКРО (1999-2001 г.г.), МИОО (2002-2006 г.г.).
На защиту выносятся следующие положения -
1. Содержание элективного курса (практикума) соответствует требованиям и рекомендациям Министерства образования для профильных классов физико-математического профиля.
2. Дидактические принципы органически связаны с содержанием курса, и их последовательное проведение позволило повысить эффективность курса
3. Предложенная методика преподавания удовлетворительно решает поставленные педагогические задачи.
4. Компьютерные материалы являются решающей составной частью практикума.
5. Содержание курса доступно для профильного класса, учащиеся проявляют высокую активность на занятиях, и спецкурс заслужил положительную оценку в преподавательской среде СУНЦ.
1. На основе анализа современной ситуации с блоком математического моделирования скорректированы цели и задачи факультативного курса математического моделирования для профильных классов средней школы, из которых основными являются прочное и сознательное овладение учащимися основными понятиями моделирования и навыками самостоятельного построения компьютерных учебных моделей и проведения на них нетривиальных исследований с обязательной фиксацией результатов. Эти знания и навыки важны как для изучения смежных дисциплин, так и для продолжения образования.
2. Обоснована выбранная структура факультативного курса, основными компонентами которой являются лекция (в специфической, очень краткой форме), демонстрация, лабораторная работа и проектная работа.
3. Показано, что выбранная среда моделирования соответствует задачам и структуре курса.
4. Разработана методика преподавания факультативного курса математического моделирования с использованием среды виртуального конструктора, которая решает поставленные задачи.
5. Разработана и внедрена методика преподавания курса повышения квалификации учителей по использованию среды виртуального конструктора Живая Геометрия.
6. Разработаны учебно-методические материалы к курсу, включающие методическое руководство по проведению лабораторных работ, учебно-методическое пособие для учителей и адаптированную программную среду Живая Геометрия (версии.3 и 4.)
Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав, заключения и библиографии.
Глава 1.
Философско-педагогическое обоснование принципов построения практикума.
Выясняется философский и психолого-педагогический статус динамического моделирования и его места в гносеологии и теории познавательных процессов по отношению к математике и информатике. Выясняется место учебного математического моделирования и, конкретнее, виртуальныых конструкторов в школе.
Рассматриваются теоретические основы и некоторые иллюстрирующие их удачные примеры применения подобных систем в информатике и естественно-научном блоке
школьной программы. Делается попытка соотнести направленность курса как целого
со сменой парадигмы научного познания.
Определяется роль компьютерного моделирования в научной и
общественной жизни. При этом упор делается на выяснение философского и
психолого-педагогического статуса динамического моделирования и его
места в гносеологии и теории познавательных процессов. Дается краткий
обзор работ этого плана по отношению к математике и информатике. Особое
внимание уделено концепциям конструктивизма, непосредственно связанных с понятием "виртуальная лаборатория". Вместе с
тем отмечается ограниченность техноцентристского направления в
конструктивизме, отрывающем задачи обучения от педагогического и
мировоззренческого контекста. Отмечается, что типичным следствием,
характерным для этого направления, является очень узкое понимание роли
учителя, резкое разграничение воспитательных и образовательных задач.
Такое разграничение противоположно традициии отечественной
педагогической мысли. Иногда считают, что выход из перегрузки учителя,
так явно выявившейся в последнем десятилетии, и состоит в ограничении
его ролью тьютора при реализации педагогических технологий. Приводятся
обоснования другой точки зрения на эволюцию учительской профессии в
ситуации широкого внедрения ИКТ. Отмечаются следствия из этих
теоретических рассмотрений, непосредственно связанные с концепцией и
перспективой развития данного факультатива
Новые компьютерные возможности и линия моделирования в информатике..
Дается определение ОПМС (по Ю.А.Первину и др.) и рассматривается их место в современной дидактике. Открытость программной системы рассматривается как средство уменьшения ее формальной активности за счет расширения возможностей активности учителя. Учитель в ОПМС становится более свободен в выборе конкретных методических приемов. Он может наполнить систему оригинальным дидактическим материалом, обмениваться такими материалами, и тут же использовать освоенный материал в занятиях.
Пример применения ОПМС в математике в терминологии «манипулятора» (С.Н.Поздняков). О виртуальных конструкторах и связанных с нами дидактических и возможностях и методиках. Краткая характеристика и история виртуального конструктора “Geometer's Sketchpad” фирмы Key Curriculum Press, исходной версии для УМК «Живая Геометрия».
Методические задачи построения практикума и обоснование выбранных решений.
По А.П.Шестакову, основными задачами курса моделирования являются:
Эти задачи рассматриваются в контексте практикума. Показано, каким образом выбранная методика решает - или помогает решать эти задачи. Параллельно рассматриваются и требования стандарта образования.
. Описаны также методические результаты, полученные автором и вошедшие в УМК “Живая Математика (ИНТ)” и «1С Математика 5-11. Практикум».
Далее подробно описаны методические решения, предложенные в ходе работы над построением практикума.
Глава 2.
Содержит подробное изложение методики преподавания конкретного курса - практикума по математическому моделированию для СУНЦ МГУ, и пояснений к некоторым педагогическим деталям реализации курса.
Изложение методики преподавания построено по принципу комментария к конкретному материалу, приводимому с той степенью подробности, которая необходима для понимания того или иного методического решения. Изложено содержание и методика преподавания большей части курса, а также описаны методические приемы, не имеющие точной привязки к содержанию курса, но характерные для него как целого.
Это изложение привязано к последовательности изучаемых моделей. Приведем список основных моделей по разделам:
Глава 3
Содержит сводку и анализ результатов проведенной работы. Подробно освещается ход апробации, полученные материалы и сделанные выводы. Также описывается и внедрение результатов работы в практику преподавания. Кратко описываются публикации и электронные издания, содержащие результаты автора, относящиеся к защищаемым положениям диссертационной работы. Подводятся итоги проделанной работы в форме выводов и перспектив, а также отмечаются нерешенные проблемы, имеющие прямое отношение к работе. Здесь же помещены благодарности прямым и косвенным участникам диссертационного исследования.
В Заключении делается краткий вывод из итогов работы.
Литература.
Раздел перечисляет 78 русскоязычных и 11 англоязычных источников, в том числе пять электронных изданий и восемь интернет-ссылок на российские, американские, английские и французские сайты.
Предварительные результаты исследования.
Выбор деятельностного подхода, как педагогического направления, наиболее адекватного поставленным задачам.
Выбор динамических сред как базовых для реализации принципов деятельностного подхода в практикуме.
Выбор геометрического материала как базового для отработки основных навыков математического моделирования и усвоения его базовых понятий.
Об апробации практикума.
Апробация практикума была проведена на двух основных площадках и двух дополнительных.
Основные площадки:
В качестве профильной школы был выбран СУНЦ МГУ, в качестве курсов - курсы МИПКРО (МИОО).
Дополнительные площадки:
Апробации проходила в МГПУ (математикческий факультет, 2001-2002 г.г.) и МПГУ (физический факультет, 2002-2003 г.г.) и в 542 (общеобразовательной) школе г.Москвы.
Кроме того, часть материалов практикума прошла апробацию в рамках апрббации УМК «1С Математика 5-11, практикум», организованного НФПК в 2003-2004 г.г.
Основные результаты работы.
Основным результатом стал построение методики элективного курса (практикума) на базе традиционного геометрического материала в формате динамических моделей, а также его расширений в область алгебры, анализа, информатики, физики, теории вероятности и элементов статистики.
Основные аргументы выбора традиционного геометрического материала в формате динамических моделей как базового таковы:
Все эти аргументы хорошо обоснованы в отечественных работах по методике преподавания информатики, и имеют давнюю традицию в имеющихся практикумах по информатике (см. 2,6).
Главными теоретические результаты работы также связаны с этим выбором.
Сделаем три замечания по общим свойствам этих результатов.
Приведем здесь краткое описание этих трех новых типов заданий по математическому моделированию, созданных в ходе диссертационного исследования.
1. «Черные ящики» - тип заданий получил название от известной модели в «Роботландии», где нужно было, подавая на вход числа, распознать формулу, по которой они преобразуются. Впрочем, концепции «черного ящика» более полувека, и разработана она отцами-основателями кибернетики - Норбертом Винером, Уильямом Эшби и Клодом Шенноном. Новизна нашего подхода - в адаптации этой идеи к геометрической динамической среде, и подборе дидактических параметров этого класса задач. Наиболее ясное описание было дано В.Н.Дубровским.
“...Особый класс экспериментальных заданий составляют задачи с «черном ящиком». На экране показаны какие-то объекты; одними из них можно управлять, положение других при этом изменяется по неизвестному (!) правилу. На «эмпирическом» уровне требуется (подбором) добиться заданного расположения объектов. На более высоком, «теоретическом» уровне нужно разгадать зависимость между объектами. Один из циклов таких заданий состоит из своего рода математических головоломок разных видов. В другом, преследующем более конкретную учебную цель, предлагаются пары фигур, одна из которых является образом другой при каком-то геометрическом преобразовании; его-то и надо восстановить. В таких заданиях с наибольшей четкостью реализованы в своей взаимосвязи важнейшие компоненты научного исследования - анализ и синтез. Впрочем, почти любая представленная в практикуме модель дает повод к такому исследованию: понять, как она построена, и построить ее самому - эта задача почти всегда будет интересна и поучительна с математической точки зрения.” (В.Н. Дубровский “Практикум - новая форма электронного образовательного издания по математике”// сб.докладов Международной конференции ИТО-2003. М: РУДН, 2003, с.65-69.)
2. Задания со встроенной подсказкой. Особенность этих, прежде всего геометрических, заданий в том, что они возможны только в динамической среде (хотя и не обязательно компьютерной). Здесь мы применяем новый методический прием, специфичный именно для динамических моделей.
Дело в том, что динамическое разворачивание работы с чертежом дает возможность нетекстового (невербального) методического сопровождения процесса обучения. Эта идея восходит еще к одному из принципов построения обучающих программ, сформулированных в 80-х годах И.В.Роберт и А.А.Кузнецоваым - о неэффективности для компьютерных обучающих программ одной текстовой (включая рисунки) форме.
Для геометрических задач такое синхронное и естественное сопровождение процесса работы строится особенно просто. Нужно только подобрать дополнительные построения такого вида, что они включаются в процесс работы учащегося с задачей в заданный момент.
Не обязательно при этом даже прятать эти построения - достаточно подобрать их так, чтобы они «работали» подсказками или указателями только на некотором, методически оправданном, этапе работы. Например, подсказкой такого типа в задаче построения правильного пятиугольника вручную, путем «перетаскивания» вершин замкнутой ломаной, могут быть короткие перпендикуляры к серединам ломаной. При этом их длину нужно брать пропорциональной длине соответствующей ломаной, с одной стороны, а с другой, подобрать коэффициент пропорциональности так, чтобы для правильного пятиугольника все пять «перпендикуляров» сходились в одной точке. Стой же целью можно взять и биссектрисы углов ломаной, или небольшие отрезки этих биссектрис, и т.п.
Легко построить и подсказки, «пропадающие» или «появляющиеся» в зависимости от текущих геометрических характеристик фигуры или чертежа, и т.п.
3. Задания на нечисловую оптимизацию. Простейшим, хоть и довольно эффективным для задач курса, примером такого задания служит задание на «распутывание» планарного графа. Здесь компьютерная среда просто поддерживает геометрические свойства, с трудом реализуемы на моделях физических, например, на геоплане (ограниченность количества штырьков, ограниченная растяжимость резиновых шнуров и т.п..) Кроме того, среда позволяет сохранять историю распутывания, что немаловажно, так как повторить оптимальное распутывание (за малое число шагов) не всегда просто. С помощью стандартных компьютерных средств, встроенных в виртуальные конструкторы, в том числе и в «Живую Геометрию», можно, манипулируя с протоколами работы по распутыванию, создавать подсказки, ответы и т.п. вспомогательные и презентационные материалы. В таких задачах оптимизируется либо число «ходов» (или «шагов»), либо нечисловые геометрические или топологические характеристики динамического чертежа.
Практикум по математическому моделированию, несмотря на слово «математический», является областью информатики. А именно, он входит в раздел «моделирование» государственного стандарта курса информатики для школ физико-математического профиля.()
Информатизация, в частности повышение значимости задач моделирования в современном обществе, потребовал перестройки концепции преподавания курса информатики и выработки нового государственного стандарта этого курса. Эта потребность и её интерпретации были предметом широкой дискусси в связи с выработкой этого стандарта в 2001-2003 г.г. Был опубликован ряд проектов стандарта и множество комментариев и замечаний к ним. Окончательный вариант, ставший официальным документом, определяющим рамки предмета по всем важнейшим параметрам, уже используется в школах (2006 г.), но концептуальные соображения и формулировки, даже не вошедшие в окончательный документ, совсем не потеряли своего смысла, особенно для профильных классов. Поэтому мы приведем ряд положений из проекта концепции, выдвинутых крупнейшими специалистами в этой области -А.А.Кузнецовым, А.Л.Семеновым и А.И.Уваровым.
Чтобы точнее определить задачи и структуру практикума, нужно исходить из его места в школьном курсе, с одной
С одной стороны, практикум должен поддерживать те «инварианты курса информатики, которые не меняются с каждым новым процессором», то есть теоретические основы информатики. С другой стороны, поскольку это именно практикум, он обязан использовать наиболее удобные в дидактическом и методическом отношении возможности компьютерной поддержки курса. Конечно, они не обязательно совпадают с теми возможностями и методическими средствами, которые включаются в современные пакеты математического моделирования для решения практических задач.
Приведем пример. В настоящее время бурно развиваются системы прикладного визуального моделирования. Имеется ряд изданий, с той или иной степенью подробности подготавливающие пользователя к работе в них. ()
Но, несмотря на близость идей визуального моделирования к идеям построения визуальных предметно-ориентированных виртуальных конструкторов, принципиальная разница здесь состоит в подходе и целях соответствующих систем. Практическая и педагогическая направленности расходятся очень далеко (мы имеем в виду школьный курс), это достаточно очевидно и не требует доказательств. Именно это расхождение и не дает в конечном счете непосредственно использовать в качестве базового инструмента для практикума реальные (практически применяемые) компьютерные инструменты. Исключения известны и здесь - конечно, преподаватель, способный профессионально использовать профессиональный математический пакет, при наличии педагогических способностей и некоторой педагогической подготовки может проводить спецкурс для старшеклассников, где они смогут решать нетривиальные задачи моделирования.
И это не такая уж большая редкость - достаточно ознакомиться с публикуциями о такой работе с пакетами MATLAB, MATHCAD и т.п.
Ограниченность этого опыта заставляет идти по другому пути - созданию пакетов по математическому моделированию учебного назначения. Иногда такие пакеты появляются как упрощенные версии промышленных пакетов (например, «Живая физика»(), или отечественный «Компас»() для задач черчения), иногда - сразу как пакеты учебного назначения. Такие пакеты получили названия электронных учебных сред, или Учебно-методических комплектов (УМК).
Соответствующие требования к ним тщательно разработаны, они публикуются в условиях конкурсов на электронные продукты учебного назначения, регулярно проводимых Министерством образования РФ (см.).
УМК «Живая Геометрия» был признан удовлетворяющим этим условиям, и на его базе был разработан практикум по курсу математики «1С. Математика 5-11. Практикум» () Заметим, что он включал в себя и ряд разделов информатики.
В практикуме по моделированию виртуальные конструкторы занимают промежуточное положение между УЯП (универсальными языками программирования) и обучающими программами по конкретной теме. В УЯП можно реализовать любую тему и любую методику. В обучающей программе тема и методика обычно жестко задана. Мы считаем, что это среднее положение в смысле «золотой середины» Аристотеля, позиция, равноудаленная от обеих крайностей (С.С.Аверинцев). Недостаток УЯП - трудоемкость и сложность алгоритмической структуры, погруженной в текст. Недостаток «обучающих программ» - негибкость, сложность и ограниченность настройки на учителя, ученика и т.п.
В программировании эту среднюю позицию заняло ООП. Но виртуальный конструктор по своим принципам близок к ООП - не случайно большинство их написано в ООСП.
Подробное рассмотрение этого вопроса с выяснением деталей сходства ООП и визуальных моделирующих сред на примере конкретной среды можно найти в (Сениченков…)
Отдельные чисто «объектые черты» присущи и нашей базовой среде «Живая Математика», хотя она и не является универсальной средой программирования - далеко не все в ней возможно запрограммировать. Эти черты рассматриваются в описании методики работы с одной из моделей (см. Глава 2 п.6)
О роли наглядности в преподавании математики написано много (см.Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математики, М., 1963). Выпускались разработанные в НИИШОТСО АПН статические и динамические модели (металлические, пластмассовые и деревянные для уроков математики), снимались фильмы и диафильмы математического содержания. Много таких материалов (в основном для младшего возраста) разработано в рамках педагогики Монтессори.
Компьютерные модели дают принципиально новые возможности, соединяющие все упомянутые (кроме, пока, Монтессори).
Для практикума по математическому моделированию принципиальный теоретический вопрос, возникающий при его информатизации - вопрос о адекватности формы активности ученика форме существования математического (в данном случае) знания. Сформулируем его, следуя специалисту по математической логике В.А.Успенскому: «Можно ли отделить математику от словесных формулировок?» В.А.Успенский считает, что, «по-видимому, все же математические понятия, как и всякие разумные понятия, существуют в виде представлений, не обязательно связанных с текстами. Определяющие же эти понятия словесные тексты следует признать важным, но не единственным способом их усвоения. … Можно быть уверенным, что с внедрением компьютеров преподавание пойдет по пути визуализации понятий, традиционно считавшимися совершенно абстрактными. …В самом деле, если математическое понятие имеет сущность, отдельную от воплощения в словесном определении или формуле, то можно надеяться на лучшее понимание этой сущности путем демонстрации различных её проявлений (а не только формулировки) (В.А.Успенский Семь размышлений на темы философии математики, в сб. «Закономерности развития современной математики», М.,Наука, 1988)».
Конечно, для геометрии это было ясно всегда (попытка «бурбакизировать» курс школьной математики, предпринятая во Франции, только доказала это). Рядом с доказательством всегда был чертеж. Более того, индийская традиция предпочитала ясный чертеж и считать доказательством.
Но с компьютерами в геометрические чертежи вошло движение и интерактивность, и одновременно - алгоритмическая структура построения.
Психолого-педагогические аспекты появления понимания математической модели.
Первым, кто детально разрабатывал тему появления понимания и способности манипулирования понятиями, связанными с математическими моделями, был Жан Пиаже (). В.В.Давыдов и его ученики показали, что практика и направленная система упражнений могут сдвигать выявленные Ж.Пиаже времена формирования соответствующих психофизиологических (а затем и интеллектуальных) механизмов сознания. ()
Особенно важным для нашей работы оказались результаты о значении поисковой активности при формировании понятия. Специально к задачам обучения математике они разбираются в недавней работе одной из учениц В.В.Давыдова - В.Н.Талызиной (). Талызина обосновывает, фактически, необходимость того, что в педагогике называется «элементами проектной работы» для формирования понятий на уровне деятельностных навыков.
В частности, она подчеркивает необходимость манипулятивной активности для этих целей, в частности, поисковой манипулятивной активности. Тем не менее школьная традиция ориентирована почти исключительно на «текстовое мышление» и активность школьника понимается так же - как активная работа с текстом. В такой педагогической ситуации понятно, почему призывы «не загромождать экран большими текстами», которые мы слышим уже третье десятилетие (!), не имеют успеха. Выход здесь один - создать систему «нетекстовой учебной активности». Примером работы по созданию такой системы служит курс «Алгоритмика 1-4» (). Наша работа может рассматриваться как работа в том же русле, но для учащихся старших классов, способных самостоятельно осуществлять синтез текстовой и нетекстовой активности. Этот синтез имеет свои специфические трудности, которые мы обнаружили и описываем в рамках описания методики работы с конкретными моделями (Глава 2, п.13 пп.,6).
Кратко наш подход к модификации практикума можно свести к трем принципам:
Использованный нами подход в информатике опирается на опыт, накопленный и в методике преподавания геометрии.
В первую очередь отметим использовавшиеся работы по методике работы с поисковыми моментами. Это - уже цитировавшаяся книга Г.Фройденталя, и книги Пойа. Сюда же относится и книга Дэвида Томаса по математическим проектам для учащихся (David A.Thomas Math projects for young scientist. NY,1988)
Важен оказался для подбора заданий и путей моделирования и анализ математической сути геометрической задачи, в частности, анализ, относящий задачу к классу поиска инвариантов соответствующей группы движений. Такой подход в методике предложен и развит И.С.Григорьевой «Структура евклидовой геометрии в задачах».
Непосредственным источником геометрических задач, на основе которых можно отрабатывать поисковые механизмы в моделировании, послужили известные задачники (Яглом… Прасолов) и менее известный задачник Я.И.Цукаря. Последний задачник занимает особую нишу среди задачников, так как он прямо ориентирован на поисковую манипулятивную работу с геометрическим чертежом. Методические обоснования такого подхода даны Цукарем в работах ().
В отличие от специализированных курсов, курс информатики не предполагает углубления в математические или физические аспекты модели, например, доказательств ее устойчивости или неустойчивости в различных смыслах, доказательств сходимости, получения и оценки порядков, асимптотик и т.д. и т.п.
Задача курса - сформировать основные понятия моделирования и ввести учащихся в ситуации, где возникает потребность таких доказательств и таких оценок, а также сформировать навык моделирования в избранных областях.
Под навыком мы понимаем возможность легкого создания и модификации модели и свободное владение средствами ее элементарного анализа в форме динамической графики.
Спецкурс“Математическое моделирование” автор вел в СУНЦ МГУ в 2000-2006 г.г..
Курс посвящен разделу информатики “Моделирование”, ориентирован на 10 - 11-ые классы, обучающиеся по программе для профильной школы с физико-математической ориентацией, и имеет практический характер, так как базовый теоретический материал раздела входит в основной курс “Информатика”.
Главной задачей, вставшей при формировании курса, была задача подбора достаточно связного, с одной стороны, и достаточно разностороннего, с другой, материала для демонстрации и отработки на нем основных понятий математического моделирования, в том числе и предусмотренных стандартом для профильных классов.
Результатом этой работы по подбору материала для курса стал выбор традиционного геометрического материала в формате динамических моделей, как базового, а также его расширения в область алгебры, анализа, информатики, физики, теории вероятности и элементов статистики. Под расширением здесь имеется в виду материал указанных предметов, существенно использующий геометрические представления или геометрический подход в изложении теории или задачах.
Основные аргументы этого выбора таковы:
Первые три аргумента хорошо обоснованы в отечественных работах по методике преподавания информатики, и имеют давнюю традицию в имеющихся практикумах по информатике (см. 2,6). Объектному моделированию также посвящено уже немало работ. Имитационному же моделированию - в его связи с другими типами моделирования - посвящено мало методических работ, вероятно, по причине методической сложности имитационных моделей. Поэтому последний аргумент потребовалось разрабатывать и представлять в развернутом виде, и именно с ним связаны главные теоретические результаты работы:
Сделаем два замечания по общей форме этих результатов.
1. Если классификация динамических геометрических моделей может иметь некоторое отношение к методике преподавания школьного курса математики, то используемое нами понятие “поведение модели” относится целиком к информатике (см.например, «Визуальная система моделирования»), и нигде не возникает ни в курсе геометрии, ни в других математических школьных курсах.
2. Тип заданий черные ящики” не имеет статических аналогов. Возможно, поэтому он так поздно был применен в методике. Для “черного ящика” статическое состояние не выявляет ни его внутренней структуры, ни его поведения. Только целенаправленное изучение реакций “черного ящика” дает возможность, путем построения гипотез и их экспериментальной проверки, построить содержательную модель его функционирования. То же относится и к заданиям с неявной подсказкой.
Задания по нечисловой (структурной) оптимизации мало использовались в школе ввиду их трудоемкости в безкомпьютерном варианте.
Опишем кратко эти результаты.
Классификация специфических свойств динамических геометрических моделей (ДГМ), применяемых в курсе.
Первоначальный вариант опубликован автором в (1), после публикации текста В.Н.Дубровского (2) он был дополнен, и частично опубликован в (3) и (4). Классификация придерживается принципов, традиционных для отечественной школы методики преподавания информатики (раздел моделирования), и должна рассматриваться в контексте основополагающих работ в этой области, например (1-6).
Учебная работа с ДГМ характеризуется следующими особенностями:
Дидактические особенности
Методические особенности
Психологические особенности
Для формулирования этого результата нужно определить, что мы понимаем под алгоритмическим, а что - под дескриптивным аспектом динамических геометрических моделей (ДГМ). (Геометрический аспект мы понимаем традиционно, как инварианты соответствующих групп преобразований евклидова пространства).
Алгоритмический аспект ДГМ касается правильности алгоритма модели в смысле оценивания правильности алгоритма по Андреевой-Фалиной (см.11,12). Напомним, что этот тип оценивания алгоритма разработан на кафедре информатики СУНЦ при решении задачи автоматизации оценивания (тестировании) программ, составленных участниками олимпиад по программированию, и состоит в индексации результатов работы программы на специально подобранном множестве тестовых наборах данных.
Основной теоретический результат Андреевой и Фалиной, важный сейчас для нашей цели, состоит в том, что правильность работы алгоритма не является однозначным понятием, а , скорее, является результатом одномерного шкалирования (Сатаров, Тюрин) сложного набора данных, полученных в разных шкалах (Кемени, Снелл).
Конечно, это понятие начинает “работать” лишь на достаточно сложных алгоритмах.
Для нашего курса до сих пор пока было достаточно абсолютной правильности алгоритма. (реализует ли требуемый результат данный алгоритм или нет?), которая выражается в простейшей бинарной шкале (см. пример далее). Но это только пока.
Заметим, что в реальные шкалы Андреевой-Фалиной входит не только алгоритмический аспект. Так, длительность работы алгоритма, строго говоря, не имеет отношения к его правильности. То же касается и эстетических, и некоторых других категорий, также не имеющих прямого отношения к правильности, но важных для оценивания работы школьника.
Дескриптивный аспект является дополнительным по отношению к алгоритмическому. Алгоритмически правильные (и, шире, алгоритмически эквивалентные модели) могут различаться по целому ряду признаков, среди которых мы выделим признаки, касающиеся поведения моделей, понимаемому как спонтанные изменения или изменения, являющиеся реакцией на входные (внешние) воздействия.
Не улавливаемые понятием алгоритмической правильности модели, эти различия могут, тем не менее, быть важными для задачи моделирования. Их мы и объединяем в понятие дескриптивного аспекта, то есть описательного, систематизирующего наблюдения и данные экспериментов, хотя и не проникающего в генетическую сущность объекта, по аналогии с дескриптивными методами в лингвистике (22) и др. науках. Например, для плоского четырехугольника с фиксироваными длинами сторон и переменными углами (т.н. параллелограмм Уатта) описание его поведения и будет той математической задачей, которая исчерпывающе решена П.Л.Чебышевым.
Конечно, это неполная классификация. Например, напрашивается категория генетического аспекта - эквивалентности с точки зрения истории построения модели, и т.д. Но наша цель - уточнить категории, уже используемые на практике, а не дать полную картину возможных типов.
Новый класс заданий по моделированию - задания типа “черные ящики”.
Для иллюстрации различия между описанными аспектами ДГМ приведем пример, на котором проиллюстрируем также и новый класс заданий по моделированию - задания типа “черные ящики”, ориентированные на работу с понятием “поведение модели”.На экране компьютера - десять квадратов.
С точки зрения классической геометрии, все эти фигуры одинаковы и являются моделями геометрической фигуры КВАДРАТ. С точностью до пикселей, выполняется определяющие квадрат свойства фигуры - у замкнутого четырехугольника все углы прямые, и все стороны равны. Конечно, можно взять и любые эквивалентные определения квадрата, все они будут выполняться для данных фигур.
Динамическое компьютерное моделирование позволяет получить модель не только внешней структуры (формы), но и внутренней структуры геометрического объекта, то есть сделать еще один шаг к раскрытию взаимосвязей элементов, составляющих объект.
Каждый объект в классической геометрии имеет свою историю построения. Самый известный вариант такой истории - алгоритм построения циркулем и линейкой, хорошо знакомый школьникам по задачам на построение. Эти задачи прекрасно разработаны, и могут быть хорошей дидактической опорой для знакомства с соответствующим аспектом моделирования.
Назовем модели, раскрывающие точную алгоритмическую структуру объекта через последовательность его построения, генетическими, или алгоритмико-генетическими.
Последовательность построения объекта связана с двумя важными понятиями - понятием”свободной точки”, и понятием отношения “предки-потомки”.
Для школьного курса геометрии “свободная точка” - это просто “произвольная точка на плоскости”. Но в школьном курсе не вводятся понятия степеней свободы, ранга и т.д., и этот произвол обычно интуитивно относят к первому моменту построения фигуры - “возьмем произвольную точку на плоскости…” Дальше о произвольности точки обычно не вспоминают, и идея работы с каждой фигурой как с непрерывным семейством возникает лишь в теме “геометрическое место точек”, мало популярной в школьном курсе геометрии.
Возможно, это произошло в связи с малой наглядностью понятия “непрерывного семейства” - ведь даже для простого отрезка, соединяющего две свободные точки, это вся плоскость целиком. (В используемом виртуальном конструкторе это противоречие преодолевается оригинальным образом - свободные точки при анимации по умолчанию движутся по случайной траектории, и , действительно, отрезок постепенно может закрасить всю видимую часть плоскости). Некоторая наглядность здесь может быть достигнута за счет перехода к пространству конфигураций (обычно больших размерностей). Например, простому треугольнику соответствует трехгранный угол, натянутый на биссектрисы осей координат (треугольник не занимает всю “положительную” часть трехмерного пространства из-за ограничения, накладываемого на соотношение его сторон неравенством треугольника). Но в нашей стране включение в геометрию элементов линейной алгебры мало популярно, хотя векторы заняли уже свое место в стандарте курса геометрии. (См. дискуссия на сайте «Профильное обучение в старшей школе» - http://www.profile-edu.ru/forum/ )
В математическом моделировании понятиям “свободная точка”, “произвольная точка на отрезке”, “произвольная точка на окружности” и т.п. соответствует понятие параметра. Это ключевое понятие моделирования, и его прояснение стоит затраченных усилий.
Отношение “предки-потомки” неявно используется в школьном курсе геометрии, в том числе в доказательствах, где оно играет важнейшую роль. В частности, когда в доказательстве говорится “по построению”, имеется в виду именно генетико-алгоритмический аспект, то есть это прямая отсылка к алгоритму построения фигуры или алгоритму “дополнительного построения”. Когда говорят “построим отрезок, соединяющий точки А и В”, или “через точку А проведем прямую, перпендикулярную прямой с”, имеется в виду, что новый объект будет потомком указанных, уже построенных объектов. В начале построения стоят “исходные объекты”, обычно это свободные точки (для произвольного треугольника - три), но могут быть и углы, и длины и т.д. Отношение “предки-потомки” позволяет, таким образом, представить геометрический объект в виде ориентированного помеченного графа специального вида, где выделяются исходные объекты, по которым и строится вся фигура. Например, для равностороннего треугольника - это две свободные точки, и т.п. (см. раздел практикума А.Чехловой в (7).
Геометрические виртуальные конструкторы (предметно-ориентированные компьютерные среды) обычно имеют встроенные средства для работы с отношением “предки-потомки”. В соответствии с общепринятым в объектных средах правилом, если мы щелкнем правой кнопкой мыши на объекте, мы получаем доступ к списку его свойств, которые обычно можем менять прямо из этого списка. Так же устроен и выбранный нами виртуальный конструктор Geometer's SketchPad (Живая Геометрия, или Живая Математика). И геометрические, и поддерживающие образовательный дизайн объекты обладают соответствующими свойствами. Одно из общих для всех объектов свойств - список предков и список потомков этого объекта. При этом при наведении мыши на имя предка (потомка) в списке (например, точка С) сам объект высвечивается на чертеже.
Для операций ”выделить предков” и ”выделить потомков” есть и команда меню, и клавиатурное сокращение. Напомним, кстати, что в большинстве компьютерных геометрических сред в целях удобства “горизонтальность” встроена по умолчанию, что уводит, строго говоря, модель от евклидового пространства геометрии с его равноправностью направлений, если забыть об этом умолчании. Горизонтальную прямую следует иногда добавлять явно, как предка чертежа.
Изменим положение выделенных в результате операций точек, и повторим алгоритм построения фигуры согласно схеме “предки-потомки”. В геометрических виртуальных конструкторах это делается просто - при передвижении мышью любых точек алгоритм построения автоматически и непрерывно (для глаза) повторяется.
Может оказаться, что не все алгоритмы построения есть алгоритмы построения квадрата. Иначе говоря, часть наших фигур может являтся решением традиционной для школьной геометрии “задачи на построение квадрата”, а часть - не являтся (что совсем не мешает им быть именно квадратом для данного конкретного расположения свободных точек).
Если школьник решал задачу на построение квадрата, то такое движение мышкой обычно его впечатляет - ошибка построения вскрывается сразу- чертеж “разваливается” при сдвиге некоторой точки. Все же остальные решения, когда построенный алгоритм действительно реализует квадрат, с точки зрения школьной геометрии, правильны и неразличимы в этом смысле. Конечно, есть еще эстетические и методические критерии, но мы эти аспекты пока опустим.
С точки зрения информатики это не так. Как модели, все приведенные правильные алгоритмы могут быть различны. Чтобы проверить, так ли это, можно предложить простую процедуру. Сначала сдвинем верхнюю левую точку каждой модели к центру квадрата и зафиксируем результат. Повторим эту работу для остальных трех точек каждой модели. Результаты сведем в таблицу.
Если в таблице нет ни одной пары одинаковых столбцов, то это значит, что все модели реагируют на одинаковые воздействия по-разному, то есть они все различны, то есть “обладают различным поведением”. “Поведение” в применении к ДГМ определяет “дескриптивный” аспект модели. Именно этот аспект становится существенным, и даже основным для имитационных моделей. И вообще, для любых моделей, когда говорят “мне неважно, как и откуда этот объект произошел, и какая у него внутренняя структура и возможности, и даже как он называется, а мне важно, как он среагирует на данный набор действий по отношению к нему”.
Это - классическая бихевиористская формула, или, как у нас переводили, “поведенческая”. Достоинства и недостатки этого подхода к моделированию хорошо известны. Мы попытались использовать неоспоримые достоинства бихевиоризма -простоту, унификацию, систематичность, ориентацию на информационные потоки - в нашем курсе моделирования. Одной из таких попыток является построенный нами класс учебных задач “на поведение” объекта.
Этот класс задач получил название “черные ящики”, по названию классического кибернетического понятия.
Наиболее ясно описание задач этого класса было дано В.Н.Дубровским.
“...Особый класс экспериментальных заданий составляют задачи с «черном ящиком». На экране показаны какие-то объекты; одними из них можно управлять, положение других при этом изменяется по неизвестному (!) правилу. На «эмпирическом» уровне требуется (подбором) добиться заданного расположения объектов. На более высоком, «теоретическом» уровне нужно разгадать зависимость между объектами. Один из циклов таких заданий состоит из своего рода математических головоломок разных видов. В другом, преследующем более конкретную учебную цель, предлагаются пары фигур, одна из которых является образом другой при каком-то геометрическом преобразовании; его-то и надо восстановить. В таких заданиях с наибольшей четкостью реализованы в своей взаимосвязи важнейшие компоненты научного исследования - анализ и синтез. Впрочем, почти любая представленная в практикуме модель дает повод к такому исследованию: понять, как она построена, и построить ее самому - эта задача почти всегда будет интересна и поучительна с математической точки зрения.” (8,9)
Динамические задания на нечисловую оптимизацию
Прежде всего, к этим задачам нужно отнести задачи на распутывание. Предложены задачи трех типов - задачи на распутывание замкнутой ломаной, задачи на планарность графа, и задачи с геометрическими особенностями. В задаче на распутывание требуется путем перемещения вершин фигуры из отрезков привести ее к нужному виду - например, к фигуре без самопересечений, или выпуклой фигуре и т.п. Два первых типа этим вполне описаны, а третий тип является сочетанием «черного ящика» и задачи на распутывание.
Избранные области математики, в которых наиболее полно удалось разработать методику выработки навыка моделирования, это:
Программа курса разработана таким образом, что и эти три области вначале разворачиваются как математически единая задача, связанная с коническими сечениями, и лишь позже распадаются на тематически далекие задания и проекты.
Говоря немного подробнее, окончательно для курса были выбраны следующие области построения и анализа моделей.
Методика преподавания моделирования и программа курса были построены на основе документа, разработанного для ЮНЕСКО в 2000 году, и скорректированы на основе образовательного стандарта (2004 года) раздела моделирования курса информатики для профильных классов, при этом использовались методические материалы и разработки, подготовленные KEY CURRICULLUM PRESS, а также московской (Г.Б.Шабат, В.Н.Дубровский) и Санкт-Петербургской (С.Н.Поздняков, Иванов?) группами, использующими эту же среду моделирования.
В основном разделе курса осваивается ряд ключевых понятий математического моделирования - модель, численная модель, численный эксперимент, числовые и нечисловые параметры модели, параметризация, поведение модели, границы адекватности модели, визуализация, динамическая связь, интерпретация, оптимизация, аппроксимация, линейная аппроксимация, ошибка, относительная и абсолютная ошибка, сходимость параметрической модели, порядок ошибки при аппроксимации, и, наконец, устойчивость модели. Сразу отметим, что устойчивость, в силу принципиального значения этого понятия для современной концепции моделирования, рассматривается на большинстве учебных моделей, хотя нигде не формализуется и не типологизируется.
Сначала развиваются полученные на вводных занятиях навыки построения и анализа моделей, затем идет основной блок моделей, почти все из которых - модели математических задач, и наконец, заключительные модели - из физики, где решаются две новые методические задачи - задача освоения понятия интерпретации и связанная с ней задача содержательного анализа модели на устойчивость.
Моделирование заданий школьного курса геометрии является важнейшей темой курса, так как позволяет освоить идеи моделирования и получить устойчивые навыки на привычном материале, с одной стороны, а с другой, получать нетривиальные геометрические результаты, что является сильным стимулом даже для относительно слабых учащихся.
Получение результатов здесь понимается в смысле информатики, то есть моделирования, а не в точном геометрическом смысле слова. Разница здесь та, что в геометрии результатом считается точно сформулированное и доказанное утверждение (с доказательством), а в моделировании результат понимается гораздо шире. И эмпирические наблюдения, и возникшие в ходе их гипотезы, и нестрогие формулировки, и интуитивные (и даже эстетические) предпочтения, и удачные и выразительные частные случаи, в том числе чертежи и рисунки, наглядные образы - всё это для моделирования результат, подлежащий сохранению, учету и развитию. Научить такому специфическому пониманию результата и навыку систематической работы в этом круге понятий - одна из важнейших целей курса.
Большое количество геометрических моделей прочти по всем темам школьного курса представлено на CD-диске "Математика 5-11, практикум 1С" (научный руководитель проекта - В.Н.Дубровский), в разработке которого автор принимал непосредственное участие. Классификация этих моделей дана В.Н.Дубровским в (). Но для целей информатики приходится проводить отбор материала по иным принципам, чем те, которые важны для школьной математики. Поэтому мы предлагаем рассматривать массив моделей на диске скорее как источник заданий для проектной работы учащихся, чем модели, непосредственно применимые для курса информатики. Учащиеся могут развить те или иные модели с CD-диска, перестроить дизайн, ввести гипертекстовые ссылки, использовать новые компьютерные возможности, поддерживаемые очередной версией среды моделирования и т.д.
Эту работу целесообразно делать под двойным руководством - и учителя информатики, и учителя математики. Методическим вопросам такой совместной работы посвящен один из курсов повышения квалификации учителей Москвы, специфика которого в том, что его проходят пары учителей - учитель информатики и учитель математики (идея принадлежит руководителю курсов повышения квалификации ИНТ - ИМЯ!). Программа этого курса, разработанная автором, приводится в Приложении.
Здесь одно из тех тонких мест курса, где необходим индивидуальный подход, дифференциация заданий. Точнее, при одном общем задании необходимо управлять сложностью его исполнения так, чтобы эта мера сложности позволила каждому учащемуся добиться успеха, с одной стороны, и получить максимальный результат, с другой. Тонкость здесь в том, управлять этим процессом приходится непосредственно во время урока, так как предлагаемая методика принципиально не содержит чисто репродуктивных заданий, и у каждого учащегося есть возможность выполнения задания своим путем.
Чтобы этот путь не противоречил возможностям учащегося, преподавателю приходится всегда быть готовым предложить близкий, но более простой путь решения. Конечно, это требует специальной подготовки к каждому занятию.
Проблема здесь в том, что если для более традиционных тем моделирования (например, в физике) необходимая дифференциация уже создана, или, по крайней мере, есть её аналоги, то для чисто математических тем её нужно продумывать и создавать «на ходу», по мере углубления взаимодействия между курсами математики и информатики.
Пример такой дифференциации - подготовленные варианты моделирования базового объекта - «репера», или куба, в теме «стереометрические модели» (см. далее). Они значительно отличаются по сложности и трудоемкости реализации, хотя все приводят к удовлетворительному решению.
Работа над моделью состоит из нескольких относительно независимых этапов. В зависимости от условий каждый этап может быть реализован с различным уровнем сложности, в него могут быть естественно включены задания на освоение среды. Мы будем лишь намечать эти задания, так как подробное описание возможной последовательности освоения среды моделирования опубликовано в учебно-методическом пособии, переведенном и дополненном автором (для 3-ей версии Geometer's SketchPad - ссылка).
В этапы мы не включили вводные элементы - поясняющие возникновение задачи, ее историю, историю моделирования, а также другие элементы урока, не относящиеся непосредственно к методико-алгоритмической стороне модели. Пример урока, включающий эти элементы, дан нами в [диск 1С].
Первые занятия курса являются вводными. Их назначение - вызвать интерес у учащихся, показать возможности вводимого инструментария, методического и компьютерного, увлечь специфическим типом работы - математическим экспериментом. Это важно по двум причинам
Поэтому план первых занятий должен быть подобран так, чтобы они уже содержали формы работы и результаты, специфичные именно для курса моделирования, и при этом результаты должны быть нетривиальными, это с одной стороны, а с другой стороны, как алгоритм работы, так и логика построения модели не должны быть сложными и громоздкими.
В частности, специфичными для курса моделирования являются «черты оптимизации» (Учебник, стр.420), особенно важные при визуализации в сочетании с манипулятивным управлением.
Для этих занятий были подобраны следующие темы:
Первые две темы входят в рамки школьного курса математики (в варианте профильного класса), и в математическом смысле содержат мало нового для учащихся, хотя и не являются тривиальными в смысле легкой доступности для математического воображения.
Новизна здесь лежит в плоскости информатики - даже учеников СУНЦ впечатляет естественность и легкость построения модели знакомого явления и простота экспериментальной работы в рамках привычных постановок вопросов.
Первая модель - типичная многопараметрическая модель оптимизационного характера. Вторая (предложена В.Н.Дубровским) содержит оптимизационные черты (при нечетком критерии оптимизации) - правильный многоугольник (икосаэдр) получается при единственном значении параметра.
Напротив, третья тема (непосредственный источник - чертеж из базового комплекта Geometer's SketchPad) содержит сравнительно новое для учащихся математическое понятие механической кривой, не включаемое обычно в школьный курс. Но это понятие имеет давнюю традицию в СУНЦе - оно вводилось еще в 60-х годах А.Н.Колмогоровым в математическом практикуме. () Результат исследования по третьей теме тоже неожидан для учащихся - обычно они не подозревают о таком многообразии различных случаев для такой простой на первый взгляд модели.
Организационно эти занятия проходят так - освоившие работу с какими-либо моделями учащиеся помогают освоить их новым учащимся, присоединившимся к спецкурсу на втором или третьем занятии. Задания с минимумом инструкций по выполнению новичкам раздаются (чтобы не повторять первое занятие). Преподаватель при этом управляет процессом работы, как и на обычной лабораторной работе, т.е. обходя класс, обращая внимание на возможные ошибки, заостряя внимание на работе с новыми понятиями.
Ближе всего методические проблемы, возникающие при оформлении работ, к проблемам оформления лабораторных работ, с одной стороны, и к проблемам оформления проектных работ. Особенностью курса, как мы уже упоминали, является интенсивность и довольно большое количество тем, свойственное лабораторным работам, с одной стороны, и значительная самостоятельность в работе, свойственная методу проектов, с другой стороны. Кроме того, курс имеет некоторый собственный теоретический объем, хотя основной объем теоретических сведений сообщается в основном курсе информатики.
Эти особенности не позволяют применить ни отработанные схемы оформления лабораторных работ, ни рекомендации по оформлению проектных работ школьников. Даже американские "activities", построенные на близких к методу программированного обучения принципах, слишком утомительны и громоздки для профильных классов, хотя в Америке и других странах при работе в школе используют в основном именно их. () Поставленная проблема получила решение, которое мы и описываем ниже.
Психологически школьнику непросто одновременно проводить исследование и фиксировать его результаты. Хорошо известно, что обычно установка на аккуратное оформление, чаще свойственная девочкам, противоречит установке на увлеченное исследование, чаще свойственной мальчикам. Причины этого также ясны - они в разнице содержания деятельности в обоих случаях. В первом случае содержание деятельности по оформлению выражается в эстетических категориях и вполне ограничивается в плане содержания репродуктивным уровнем. Эстетический же аспект в исследовательской деятельности носит другой характер - это эстетика открытия и эстетика умозрения.
При исследовании эмоциональная сторона играет большую роль, увлеченность поисковой деятельностью близка к увлеченностью детей игровой ситуацией. Какова степень увлеченности при игровой ситуации при работе с компьютером - хорошо известно по компьютерным играм. Известно также, что компьютеромания гораздо чаще встречается среди мальчиков, чем среди девочек.
Таким образом, методические задачи относительно мальчиков и относительно девочек, в некотором смысле, противоположные - мальчикам важно помочь обратить внимание на рефлективный и коммуникативный аспект творческой работы, а девочкам - не отвлекаться на оформление и на производимое им впечатление, а глубже войти в смысл поставленной задачи. (Мы, конечно, говорим не об исключениях, а о правиле).
Таким образом, встает задача развести исследовательско-конструкторскую деятельность и деятельность по оформлению текущих результатов работы.
Эта задача в обычных лабораторных работах решается за счет планирования, когда вся деятельность разбивается на этапы, куда включается заполнение и оформление заранее подготовленных таблиц, рисование графиков, вписывание промежуточных выводов и т.п. Не говоря о том, что включенное оформление сбивает ритм, оно возможно только в плановой работе, когда ход работы заранее продуман до деталей.
В случае нашего курса значительная часть работ носит проектный характер, а запланированные работы можно выполнить существенно различными способами. И самое главное - результаты работы, в том числе и промежуточные, принципиально непредсказуемы в силу значительной вариации и видов, и параметров моделей у разных учащихся. Но тип работы на курсе, хотя бы по количеству изучаемых тем, далек от проектного типа работы (хотя проекты и запланированы как форма работы для желающих).
Требовать оформления промежуточных результатов работы, даже в самой простой форме, в такой ситуации совершенно нереально. Тем не менее задача включения описания работы и результатов получила в нашем курсе удовлетворительное решение за счет использования компьютерных возможностей организации процесса работы.
Современные конструкторские и моделирующие среды могут хранить всю историю работы в них. Не является исключением и наша учебная среда - Geometer's SketchPaD. Этот элемент входит в ее концепцию. С самой первой версии 1993 года эта среда не просто имела полную откатку и откатку откатки (undo и undo undo), но и позволяла сохранить файл со всей историей работы.
Это значит, что, открыв чей-то чертеж, мы можем просто использовать команду UNDO (откатку) для пошагового просмотра всей истории его построения, вплоть до "чистой страницы", и обратно. Понятно, как важна такая возможность с точки зрения методики работы, но мы сейчас говорим не об этом, а о задаче разведения исследовательской и оформительской деятельности.
Действительно, эта задача решается при наличии "машины времени", т.е. возможностью свободно двигаться по истории работы. Мы можем отделить во времени исследовательскую и оформительскую деятельность, не заставляя школьников заново повторять и вспоминать ход своей работы. Опишем используемый нами способ.
В какой-то момент школьник приходит к "окончательному результату". Насколько он окончателен на самом деле - это здесь не важно, важно психологическое ощущение законченности некоторого этапа работы, завершенности поиска, ощущения найденности ответа на вопросы (свои, или ставшие своими в ходе работы вопросы преподавателя). Теперь возможно его отвлечь на процесс оформления и фиксации промежуточных результатов. Двигаясь по истории (например, с начала своей работы, или, наоборот, с конца к началу), ученик останавливается на тех этапах, которые он теперь уже может спокойно оценить как ключевые этапы работы, фиксация которых необходима для того, чтобы кто-то другой, кроме него, уяснил ход его работы. Для этих этапов автоматически (при выполнении команды "добавить страницу - копию" из "настройки документа") создаются отдельные страницы, которые можно при необходимости оформить более детально - наименовать, раскрасить, вписать пояснения, расчеты, создать кнопки анимации или кнопки показа спрятанных построений, кнопки гиперссылок на Интернет - ресурсы (по URL) и т.д. Полученные страницы располагаются как страницы в книге (как принято, например, в EXCELе, хотя могут вызываться и по обычным гиперссылкам с титульной (или любой другой) страницы чертежа GSP. Страницы можно легко менять местами (в том же меню «настройки документа»).
Титульная страница, с фотографией ученика и ссылкой на его сайт, с данными школы, класса, спецкурса и т.п. (общая для всех работ), готовится заранее и только заполняется названиями подготовленных страниц как гиперссылками на сами страницы. Эти названия также копируются с самих страниц, а ссылки возврата на титульную (начальную) страницу ставятся автоматически, при помощи инструмента, подготовленного на занятии по освоению механизма «инструментов пользователя» (user's tools). Все это делает работу по оформлению удобной и быстрой, но результат при этом структурирован и готов для презентации.
Конечно, курсовые и собственно проектные работы оформляются по «индивидуальному проекту», и требования к их оформлению гораздо выше.
Этот способ оформления результатов использует известное "отчуждение" создателя интеллектуального продукта от своего творения, возникающее после его завершения. Как описана подобная ситуация у А.С.Пушкина,
«…не продается вдохновенье,
но можно рукопись продать!
- Вы правы. Условимся…»
Таким образом ориентация на "чужое" восприятие (учительское и т.д.) необходимая для задачи оформления результатов, разводится с ориентацией на свое восприятие. А в детском возрасте ориентация на свое восприятие через механизмы эмоциональной регуляции неразрывно связана с личной (активной) поисковой, игровой и конструкторской деятельностью. Эта связь детально исследована в работах школы К.С.Лебединской - О.С.Никольской (Эмоциональные нарушения в детском возрасте и их коррекция / Лебединский В.В., Никольская О.С., Баенская Е.Р., Либлинг М.М. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 197 с.), показавших её фундаментальное значение в процессе формирования личности. Автору посчастливилось работать с этим коллективом, непосредственно участвуя в психолого-педагогической деятельности по коррекции расстройств эмоциональной регуляции. Мы подбирали форму работы по решению задач на компьютере для школьников, нуждавшимися в коррекции. Этот опыт оказался важен для углубления индивидуализации работы на курсе.
Работу с математическими конструкциями в курсе можно рассматривать в том же ряду, что и в котором мы рассматриваем опыт, накопленной учеником в ориентационной, познавательной и игровой деятельности.( Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., “Интор”, 1996. 1998. В.П. Зинченко Психологические основы педагогики М.: Гардарики, 2002).
С точки зрения математического образования - это опыт накопления образов и навыков ориентации и манипулирования в мире математических объектов, опыт эмоционально-окрашенного, деятельностного, активного знакомства с этим миром, вхождения в него. (Талызина Н. Ф Педагогическая психология:.М.,«Академия»,2001 )
Ткань самого предмета математического моделирования формируется параллельно процессу работы с математическими моделями.
А именно - происходит воплощение математической идеи в модель, отчуждение этой идеи, перевод субъективных образов в объективные, вхождение в систему языка математического моделирования. Языка в смысле системы знаков (А.Г.Волков, Язык как система знаков, М.,1966 .), с его специфическими понятиями, терминологией, конструкциями, выражениями и коммуникативными возможностями - именно в этом главная задача курса. У нового языка, как и у всякого другого, развиваются две глубоко взаимосвязанные функции.
Первая - способность языка поддерживать и воплощать мыслительную способность человека. Это поддержка внутренней речи, внутреннего диалога мышления. Индивидуальная поисковая работа с моделью поддерживает именно эту способность.
Вторая - его коммуникативная сторона, использование для передачи, пояснения своей мысли, включения в диалог со внешним миром, с конкретными людьми.
Эта сторона воплощается в моделях как презентациях, докладах на конференциях школьников, публикациях, форумах, конкурсах и олимпиадах.
Есть и важный переходный момент вынесения вовне этих функций - общение детей между собой. Это, конечно, коммуникативный аспект, но он не слабо социализирован, слабо нормирован, именно поэтому кажется, что дети друг друга хорошо понимают, а взрослым труднее с ними разговаривать (хотя бывают известные исключения). Учащиеся в классе также еще имеют возможность общаться в «детском режиме» при непосредственном объяснении друг другу - если один что-то понял, а другой хочет это понять. На уроке важно как можно чаще создавать возможность для такого общения - это очень экономит силы учителя. Эта идея в педагогике давно используется (Ланкастерская система т.п.), но в компьютерном классе она обретает новое воплощение просто в силу специфики устройства процесса понимания на занятии. Понятое немедленно требует применения не просто практического, но при этом и достаточно сложного, поэтому ученик сам контролирует свой уровень понимания, и сам добивается от соседа или от учителя понятного ему объяснения.
В информатике она давно используется при занятиях в компьютерном классе, в основном, стихийно, но в спецкурсе профильного класса есть возможность применять эту оперативную форму взаимообучения плановым образом.
В математическом практикуме СУНЦ, который был создан акад.А.Н.Колмогоровым, ещё в 70-е годы не просто разрешалось, но и поощрялось общение учащихся на этом этапе моделирования. Эта черта несвойственна обычным формам методики проведения занятий в те годы. Поэтому в описании практикума специально подчеркнуто: «Отметим, что в условиях индивидуализации работ мы ни в коем случае не препятствуем взаимным консультациям в «домашней» стадии выполнения задания». (стр.27) В нашем случае «домашняя» стадия - это работа за компьютерами в компьютерном классе, и обычно это время урока.
Об апробации практикума.
Основные положения и результаты исследования обсуждались на:
научной конференции МГПУ <Проблемы активизации
учащихся> (г.Москва, 2002 г);
научной конференции МГПУ <Конференция молодых ученых
> (г.Москва, 2000 г);
научной конференции факультета математики
Московского педагогического государственного университета (г.
(г. Москва, 2002 )
научно-методическом семинаре МЭИ < Использование компьютерных
средств в преподавании математики> ( 2001 г.);
заседаниях кафедры ИПМ Московского Городского педагогического
университета (г. Москва, 2000 гг.);
заседаниях кафедры информатики СУНЦ Московского Гсударственного
Университета (г. Москва,
2002 гг.);
научно-методическом семинаре ФПО Московского Гсударственного
Университета (г. Москва, 2002, 2004 гг.);
заседаниях кафедры математической физики Московского Государственного педагогического университета (г. Москва, 1998-2006)
гг.);
конференциях ИТО
По теме диссертации опубликовано 6 работ.
Апробирован спецкурс «Практикум по математическому моделированию» в СУНЦ МГУ (10-11 кл) (2000-2006 г.г.)
апробирован спецкурс для педвузов "Учебное моделирование в
виртуальном конструкторе Geometer's SketchPad" в МГПУ (2000-2002 г.г.)
Разработана и внедрена программа 12-часовых, 24-часовых и 72-часового блока «Компьютерные средства в преподавании математики («Живая Геометрия») для курсов повышения квалификации учителей, апробирована и внедрена в МИПКРО (1999-2001 г.г.), МИОО (2002-2006 г.г.).
Апробация практикума была проведена на двух основных площадках и двух дополнительных.
Основные площадки:
В качестве профильной школы был выбран СУНЦ МГУ, в качестве курсов - курсы МИПКРО (МИОО).
Дополнительные площадки:
Апробации проходила в МГПУ (математикческий факультет, 2001-2002 г.г.) и МПГУ (физический факультет, 2002-2003 г.г.) и в 542 (общеобразовательной) школе г.Москвы.
Кроме того, основная часть методических материалов практикума прошла апробацию в рамках апробации УМК «1С Математика 5-11, практикум», организованного НФПК в 2003-2004 г.г.
Диссертационное исследование было вызвано практической необходимостью - построением элективного спецкурса «математическое моделирование» для кафедры информатики СУНЦ МГУ. В ходе исследования были получены результаты, относящиеся к методике преподавания информатики, в том числе построен оригинальный тип заданий - «черные ящики».
Эти результаты были применены в работе над проектом УМК «1С Математика 5-11, Практикум» для конкурса НФПК по заказу Минобразования (научный руководитель - В.Н.Дубровский). Проект выиграл конкурс и был реализован в 2001-2005 году, пройдя все запланированные стадии разработки и внедрения, в том числе и апробацию.
Целью работы было повышение эффективности практикума по матмоделированию. Решалась задача выбора МО, подбора системы заданий и построения её методического обеспечения, обеспечивающих планируемое повышение эффективности.
Основная гипотеза исследования состояла в том, что выбор виртуального геометрического конструктора в качестве базового МО для спецкурса и опора на алгоритмы конструирования, знакомые учащимся по школьному курсу планиметрии, и визуально-манипулятивные способы построения и исследования позволят создать эффективную систему заданий по моделированию с элементами проектной работы.
Таким образом, после подготовительной работы, состоявшей в знакомстве с различными типами практикумов по математическому моделированию, применяемым МО, монографиями, учебниками, статьями и документами Министерства образования по этой теме, была поставлена и решена двуединая задача, связанная с формировнием набора заданий и методики работы с ними. С одной стороны, математически содержательные задачи, выбранные для моделирования, требовалось так перестроить, чтобы наиболее естественным способом работы с ними было конструирование и исследование в среде учебного виртуального геометрического конструктора. С другой стороны, требовалось так подобрать задачи, их постановки и предлагаемые пути решения, чтобы они покрывали запланированную часть материала по математическому моделированию на уровне формирования навыков применения этих понятий.
Таким образом, выполнение этого плана привело к замене преимущественного типа практической работы - вместо работы с текстами выполняется работа с наглядной моделью плоскости (компьютерными аналогами механических инструментов - циркуля, линейки, карандаша и т.д.) Так же и исследования полученной модели переводятся из текстовой формы в манипулятивную и визуальную форму, а главным исследовательским механизмом является визуальное обнаружение инвариантов полученной модели при различных заданных конструкцией допустимых движениях, подбираемых в поисковой деятельности.
Такая замена приавела в ряде случаев к формированию новых типов заданий, не встречавшихся в статическом или текстовом варианте. Наиболее важным типом таких заданий является тип заданий «геометрические черные ящики». Он реализован и на диске «1С математика 5-11. Практикум.» Вот как его описывает В.Н.Дубровский:
“...Особый класс экспериментальных заданий составляют задачи с «черном ящиком». На экране показаны какие-то объекты; одними из них можно управлять, положение других при этом изменяется по неизвестному (!) правилу. На «эмпирическом» уровне требуется (подбором) добиться заданного расположения объектов. На более высоком, «теоретическом» уровне нужно разгадать зависимость между объектами. Один из циклов таких заданий состоит из своего рода математических головоломок разных видов. В другом, преследующем более конкретную учебную цель, предлагаются пары фигур, одна из которых является образом другой при каком-то геометрическом преобразовании; его-то и надо восстановить. В таких заданиях с наибольшей четкостью реализованы в своей взаимосвязи важнейшие компоненты научного исследования - анализ и синтез. Впрочем, почти любая представленная в практикуме модель дает повод к такому исследованию: понять, как она построена, и построить ее самому - эта задача почти всегда будет интересна и поучительна с математической точки зрения.” (8,9)
Второй тип заданий, полученный в ходе исследования - «задачи с динамически обусловленной подсказкой». Его идея восходит к давним дидактическим работам А.А.Кузнецова о гибком применении подсказок в компьютерных обучающих программах. Но она реализована в особой среде виртуального конструктора геометрическими методами, что потребовало некоторого методического её уточнения, и учета гораздо большей гибкости геометрических моделей, чем у тех обучающих программ, о которых шла речь в конце 80-х годов.
Также выделены некоторые полезные методические принципы построения работы учителя и учащихся в используемой компьютерной среде и близких к ней по идеологии.
Последний из методических результатов, который хотелось бы упомянуть, это методика фиксации и связанному с ней переходу к текстовому способу записи результатов исследования модели. На этом этапе найден эффективный метод использования механизма автоматического протоколирования работы, встроенного в большинство современных виртуальных конструкторов, начиная с «МИКРОМИРа-85». Этот механизм обычно позволяет возвращаться к любому из предыдущих этапов работы, сохранять его, и продолжать работу с любого этапа. Поскольку высокая поисковая активность - основной дидактический прием практикума на базе манипулятивных и визуальных средств, то учащиеся за короткое время успевают перебрать десятки и сотни вариантов. Конечно, последовательная ручная фиксация в таком случае немыслима. Можно научить учащихся отбору среди пройденных этапов наиболее существенных и показательных, нуждающихся в фиксации и минимальных комментариях промежуточных результатов. Слово «промежуточный результат» в исследовательской работе может не иметь смысла, если не имется в виду достижение однозначного «конечного результата», или до него ещё далеко. В таких случаях целый ряд результатов нужно считать «окончательными», так как часто сразу неясно, как они упорядочены по их «окончательности». Все их желательно ввести в презентацию работы по моделированию. В простейшем случае она является кратким описанием модели с набором «страниц» с полученными вариантами моделирования. Всё это снабжено минимальным аппаратом презентирования - надписями, кнопками показа дополнительной или скрытой информации, кнопками анимации и кнопками ссылок (на соседние страницы или в Интернет).
Построенные учащимися динамические визуальные модели могут быть конвертированы в JAVA-апплеты и отредактированы как интернет-страницы, но эта работа выходит за рамки нашего краткого элективного курса (24 или 32 часа), и может быть проведена только как проектная.
Образцы подобных страниц можно увидеть среди работ бывшей студентки-участницы аналогичного спецкурса нашей кафедры в МГПУ, теперь уже преподавателя, Ксении Алексеевны Николаевой.
Апробация методических решений, примененных в элективном курсе, проводилась НФПК в рамках апробации продукта, заказанного «1С» и ИНТ, а также в СУНЦ МГУ, в течении шести лет функционирования спецкурса-практикума, который вел автор. Результаты внедрены в СУНЦ МГУ и в МИОО.
Ландо С.К., Семенов А.Л. Учебная программа «Алгоритмика»:5-7 классы, - М., ИНТ, 1997.
Кушниренко А.Г., Лебедев Г.В. 12 лекций о том, для чего нужен школьный курс информатики и как его преподавать. : Методическое пособие .- М.: Лаборатория базовых знаний, 2000 (Вологда: Полиграфист, ПФ).- 464
Семакин И.Г., Шеина Т.Ю. Преподавание базового курса информатики в средней школе : Методическое пособие . - Лаборатория базовых знаний , 2002
Челак Е.Н., Конопатова Н.К. Развивающая информатика : Методическое пособие . - Лаборатория базовых знаний , 2001